Разложение натурального числа на простые сомножители – это одна из важнейших задач в теории чисел. Особое внимание уделяется разложению числа на простые множители, которые повторяются в этом разложении определенное количество раз. В данной статье мы рассмотрим задачу о количестве сократимых правильных дробей с знаменателем 729.
Для начала необходимо разложить число 729 на простые множители. Найдем простые множители числа 729: 3 * 3 * 3 * 3 * 3 * 3 = 3^6. Теперь можно получить все сократимые правильные дроби с таким знаменателем.
Количество сократимых правильных дробей с знаменателем 729 равно произведению (3^6 - 1) * (3^6 - 3) * (3^6 - 3^2) * ... * (3^6 - 3^5). Для упрощения вычислений можно заметить, что каждый множитель имеет вид (3^6 - 3^k), где k принимает значения от 1 до 6. Таким образом, мы получим результат:
(3^6 - 1) * (3^6 - 3) * (3^6 - 3^2) * (3^6 - 3^3) * (3^6 - 3^4) * (3^6 - 3^5).
Данное выражение можно упростить и посчитать точное количество сократимых правильных дробей с знаменателем 729. Применение формулы числа Гононта позволит получить результат: 387420489 - 43046721 + 4782969 - 531441 + 59049 - 6561 = 3240609.
Количество сократимых правильных дробей с знаменателем 729
Число 729 можно представить в виде произведения простых множителей: 3^6. Для того чтобы дробь была сократимой, ее числитель должен быть взаимно простым с знаменателем.
Всего существует 729 возможных числителей, но из них нужно исключить числа, которые имеют общий делитель с 729. Чтобы рассчитать количество сократимых правильных дробей, необходимо вычесть из общего числа возможных числителей количество чисел, которые имеют общий делитель с 729.
Таким образом, количество сократимых правильных дробей с знаменателем 729 равно количеству чисел, взаимно простых с 729, и может быть вычислено с использованием функции Эйлера, так как 729 = 3^6.
Итак, количество сократимых правильных дробей с знаменателем 729 равно 729 * (1 - 1/3) = 486.
Что такое сократимая правильная дробь?
Например, дробь 4/8 является сократимой правильной, потому что числитель и знаменатель имеют общий делитель 4, и мы можем сократить эту дробь до 1/2, деля числитель и знаменатель на 4.
Сократимую правильную дробь можно представить в виде нескольких равносильных дробей, имеющих одинаковое значение. Например, 1/2 является сократимой правильной дробью, и ее можно представить также как 2/4, 3/6, 4/8 и так далее.
Когда рассматривается задача о количестве сократимых правильных дробей с определенным знаменателем, требуется определить количество дробей, которые можно получить, сокращая числитель и знаменатель на одно и то же число.
Количество сократимых дробей с знаменателем 729
Знаменатель 729 представляет собой куб числа 9 (729 = 9^3). Для сокращения дроби, числитель и знаменатель должны иметь общий делитель, который не равен 1.
Наименьший общий делитель чисел 729 и 9 равен 9. Благодаря этому, мы можем сократить дроби путем деления числителя и знаменателя на 9.
Таким образом, общее количество сократимых правильных дробей с знаменателем 729 равно 421.
Как вычислить количество сократимых дробей?
Для вычисления количества сократимых дробей с знаменателем можно использовать метод Эйлера. Метод Эйлера основан на факторизации числа и определении количества взаимно простых чисел с заданным знаменателем.
Для определения количества сократимых дробей с знаменателем 729, мы сначала факторизуем число 729. Факторизация числа позволяет разложить его на простые множители. В случае числа 729, его можно разложить на простые множители следующим образом: 729 = 3^6.
Затем мы используем формулу Эйлера, чтобы определить количество взаимно простых чисел с заданным знаменателем. Формула Эйлера гласит:
φ(n) = n(1 - 1/p1)(1 - 1/p2)(1 - 1/p3)...(1 - 1/pk),
где φ(n) - функция Эйлера, показывающая количество положительных целых чисел, меньших и взаимно простых с n, pi - простые множители числа n.
В нашем случае, число 729 разложено на простые множители 3^6. Подставляя значения в формулу Эйлера, получим:
φ(729) = 729(1 - 1/3)(1 - 1/3)(1 - 1/3)(1 - 1/3)(1 - 1/3)(1 - 1/3) = 243.
Таким образом, количество сократимых дробей с знаменателем 729 равно 243.
