Четность функций - одно из важных понятий в математике. Функция считается четной, если она обладает определенными свойствами, верными для всех значений аргумента. Доказательство четности функции позволяет нам легко установить ее симметрию относительно оси ординат.
Для доказательства четности функции y = f(x), где f(x) - некоторая функция от аргумента x, мы должны показать, что для любого значения x выполняется равенство f(-x) = f(x).
В данном случае у нас имеется функция y = x10. Чтобы доказать, что она является четной, нужно заменить x на -x в формуле и убедиться в равенстве двух выражений.
Доказательство четности функции y=x^10
Функция y=x^10 является монотонно возрастающей для любого x, поэтому достаточно доказать, что для любого отрицательного значения x выполняется условие y(-x) = y(x).
| x | y(x) | y(-x) |
|---|---|---|
| -2 | 1024 | 1024 |
| -1 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
| 2 | 1024 | 1024 |
Как видно из таблицы, для любого отрицательного значения x значение функции y(x) равно значению функции y(-x). Таким образом, функция y=x^10 является четной.
Симметрия относительно оси OY
Для доказательства четности функции y = x10 необходимо показать, что она обладает симметрией относительно оси OY.
Функция обладает симметрией относительно оси OY, если выполняется следующее свойство: для любого значения x, значение функции в точке x равно значению функции в точке -x.
Рассмотрим функцию y = x10. Заметим, что при замене x на -x, знаки всех возведенных в степень членов остаются неизменными. Это значит, что значение функции y = x10 при замене x на -x остается неизменным.
Таким образом, функция y = x10 является четной функцией и обладает симметрией относительно оси OY.
Четность степенной функции с четной степенью
Рассмотрим степенную функцию с четной степенью, например $y = x^{10}$.
Для этой функции, заменяя $x$ на $-x$, получим:
$y(-x) = (-x)^{10} = (-1)^{10} \cdot x^{10} = x^{10} = y(x)$.
Таким образом, для функции $y = x^{10}$ выполняется условие четности, а значит она является четной функцией.
Четность произведения четных функций
Рассмотрим функцию f(x) = x^10. Для определения четности функции, необходимо проверить, сохраняется ли значение функции при замене аргумента на его противоположное значение.
Для четной функции f(x) это свойство выполняется, если для любого х из области определения функции выполняется равенство f(x) = f(-x).
Докажем, что функция f(x) = x^10 является четной, вычислив ее значение при замене аргумента на его противоположное значение:
f(-x) = (-x)^10 = x^10 (по свойству возведения в степень четного числа)
Таким образом, значение функции f(x) при замене аргумента на его противоположное значение остается неизменным. Значит, функция f(x) = x^10 является четной.
Значение функции при отрицательном аргументе
Подставим отрицательное значение -x в функцию:
y = (-x)^10
При возведении отрицательного числа в степень, получаем следующее:
(-x)^10 = (-1)^10 * x^10
Так как (-1) в любой четной степени будет положительным числом, можно записать:
(-1)^10 * x^10 = 1 * x^10 = x^10
Таким образом, значение функции y = x^10 при отрицательном аргументе равно значению функции при соответствующем положительном аргументе.
Свойство симметрии графика относительно оси OX
График функции является отражением ее значений относительно оси OX, то есть если точка с координатами (x, y) лежит на графике, то точка с координатами (x, -y) также будет лежать на графике.
Проверим это свойство для функции y = x^10:
- Выберем произвольную точку на графике с координатами (x, y).
- Инвертируем значение y, получив точку с координатами (x, -y).
- Подставим новые координаты (x, -y) в уравнение функции y = x^10.
- Получим утверждение -y = x^10.
- Умножим обе части полученного утверждения на (-1), получим y = -x^10.
- Заметим, что новое утверждение совпадает с исходным уравнением функции y = x^10.
- Значит, точка с координатами (x, -y) также принадлежит графику функции.
Таким образом, каждая точка на графике функции y = x^10 симметрична относительно оси OX, что доказывает ее четность.
